Die Kelly-Strategie, die nicht scheitern kann

 (win-vector.com)
3 Punkte von GN⁺ 2024-12-20 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen

Einführung

  • Die Kelly-Wettallokationsstrategie ist ein System, das in Glücksspielsituationen Informationen maximal ausnutzt, und gilt als sehr aggressive Strategie mit hoher Volatilität.
  • In Peter Winklers Buch Mathematical Puzzles wird ein Kartenspiel namens „Next Card Bet“ vorgestellt, das einen Fall beschreibt, in dem die Kelly-Strategie ohne Risiko und ohne Volatilität funktioniert.

Das Spiel

  • Das Spiel wird mit einem Kartendeck aus 52 Karten gespielt (26 rote und 26 schwarze Karten), und der Spieler startet mit einem Kapital von 1 $.
  • Jede Karte wird nur einmal aufgedeckt, und der Spieler kann einen Teil seines aktuellen Kapitals darauf setzen, ob die nächste Karte rot oder schwarz ist.
  • Durch das Zählen der Karten kann man auf die Farben der verbleibenden Karten schließen und darauf eine Wettstrategie aufbauen.

Die Kelly-Strategie

  • Die Kelly-Strategie wählt den Einsatz so, dass der erwartete Logarithmus des Kapitals maximiert wird.
  • Sei r die Anzahl der verbleibenden roten Karten und b die Anzahl der verbleibenden schwarzen Karten. Wenn r > b, wird die Einsatzquote als bet_fraction = (r - b) / (r + b) berechnet.
  • Bei r = b wird nicht gewettet; bei r > b wird auf Rot gesetzt, bei b > r auf Schwarz.

Versuch mit der Strategie

  • Die Kelly-Strategie wird mit Python simuliert.
  • In 10.000 Spieldurchläufen ergab sich bei jedem Lauf ein Gewinn in Höhe des 9.08-Fachen des Startkapitals, ohne jede Schwankung im Ergebnis.
  • Anders als bei der üblichen Kelly-Strategie ist das Ergebnis hier also volatilitätsfrei.

Erklärung

  • Wenn unter den möglichen Kartenreihenfolgen von (52 choose 26) genau eine eintritt, erhöht die Portfoliostrategie das Kapital um den Faktor 2^(52).
  • Es wird erklärt, warum die Kelly-Strategie und die Portfoliostrategie zum selben Ergebnis führen und weshalb die Kelly-Strategie hier keine Volatilität aufweist.

Erläuterung

  • Die Kelly-Strategie setzt effektiv auf viele Farbverläufe zugleich; jedes Mal, wenn eine Wette falsch liegt, wird das verbleibende Deck unausgeglichener und damit vorteilhafter.
  • Hervorgehoben wird die Eigenschaft der Kelly-Strategie, Information und Unsicherheit angemessen zu bepreisen.
  • Winklers Buch Mathematical Puzzles wird empfohlen, da es ähnliche Probleme behandelt.

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2024-12-20
Hacker-News-Kommentare

  • Man kann immer Gewinn erzielen, wenn sich Anteile unendlich fein aufteilen lassen

    • Wenn zum Beispiel 26 rote Karten oben liegen, fällt ein anfänglicher Anteil von $1.00 auf 0.000000134 und steigt dann wieder auf 9.08

  • Ich halte die Portfoliodebatte für einen unnötigen Umweg

    • Es gibt einen zweizeiligen Beweis per Induktion
    • Der Ertrag im Basisfall (0,1) oder (1,0) beträgt 2

  • Ein ähnliches Beispiel mit einem Kartenspiel wird in Timothy Falcons Buch über Finanzinterviews beschrieben

    • Gwern erklärt es und hat Code geschrieben, der die optimale Stoppstrategie beweist

  • Eine interessante ergänzende Erläuterung zum Kelly-Kriterium

    • Das Proebsting-Paradoxon ist eine Debatte, die zeigen soll, dass das Kelly-Kriterium zum Ruin führen kann
    • Es ist mathematisch lösbar, wirft aber bei der praktischen Anwendung interessante Fragen auf

  • Das Kelly-Kriterium ist eines der Konzepte aus der Spieltheorie und wird von professionellen Spielern häufig für das Bankroll-Management verwendet

    • Es ist ein Kriterium für binäre Ergebnisse, aber bei der Anwendung auf nicht binäre Situationen können verzerrte Resultate auftreten

  • Mit besser handhabbaren Zahlen wäre es eine bessere Demo

    • Zum Beispiel: ein Deck mit 2 schwarzen und 2 roten Karten

  • Es ist sehr interessant zu sehen, dass es keine Schwankung im Ergebnis gibt

    • Ich frage mich, ob die Kelly-Strategie für dieses Problem optimal ist

  • Als jemand mit dem Namen Kelly weiß ich das Selbstvertrauen zu schätzen

  • Das Problem und die Lösung scheinen von Thomas Cover zu stammen

    • Ich habe es in einem Kurs gelernt, in dem das Kelly-Kriterium gelehrt wurde, und seine Lehrveranstaltungen waren immer spannend und lohnend

  • Mit mehreren RNG-Seeds überprüft

    • Da sich der RNG bei jedem Lauf weiterentwickelt, ist das kein Problem