Steht diese Duplo-Eisenbahnstrecke unter zu großer Spannung?

 (puzzling.stackexchange.com)
2 Punkte von GN⁺ 2023-09-07 | 1 Kommentare | Auf WhatsApp teilen
  • Die vom Kind gebaute Duplo-Eisenbahnstrecke sieht zwar wie eine geschlossene Schleife aus, ist aber ein Rätsel: Anhand von Winkel- und Positionsbedingungen soll geprüft werden, ob die Teile gewaltsam zusammengefügt wurden.
  • Die mathematische Prüfung besteht darin, zuerst zu kontrollieren, ob die Differenz zwischen Links- und Rechtskurven ein Vielfaches von 12 ist, und anschließend zu berechnen, ob die Summe der Verschiebungsvektoren aller Teile 0 ergibt.
  • Die am höchsten bewertete Lösung berechnet, dass die Winkelbedingung erfüllt ist, die Verschiebungssumme mit 4.5 -3 -2 0.5 aber nicht 0 ist – es handelt sich also nicht um eine spannungsfreie Schleife.
  • Für eine exakte Passung müssten einige Teile entfernt bzw. hinzugefügt werden; wenn nur ein einzelnes Teil ergänzt wird, wird unter anderem vorgeschlagen, nach der ersten grauen Kurve ein gerades 2-2-Teil einzusetzen.
  • In der Praxis lässt sich über Ebenheit der Strecke, Verbiegung und Abstände an den Verbindungsstellen sowie Entgleisungen oder abkoppelnde Wagen während der Fahrt beurteilen, ob zu viel Spannung anliegt.

Feststellen, ob eine Duplo-Strecke erzwungen geschlossen wurde

  • Der Fragesteller mochte die von seinen Kindern gebaute Duplo-Eisenbahnstrecke, wollte aber wissen, ob die Teile unter übermäßiger Spannung stehen und dadurch beschädigt werden könnten.
  • Die Strecke besteht aus gebogenen und geraden Schienen.
    • Der Bahnübergang wird faktisch wie ein einzelnes gerades Schienenteil behandelt.
    • 12 gebogene Schienen ergeben auf natürliche Weise einen Kreis; wenn man 13 gebogene Schienen gewaltsam zu einem Kreis zusammenfügt, kann Spannung in der Strecke entstehen.
  • Im Mittelpunkt der Frage stehen zwei Punkte:
    • ob es eine schnelle, logische Methode gibt, Spannung zu erkennen
    • welches Teil und welche Position besser wären, wenn man zur Verringerung der Spannung ein Teil entfernt oder hinzufügt

Winkelbedingung: Differenz zwischen Links- und Rechtskurven

  • Die erste Prüfung betrifft eine Winkeldiskrepanz.
  • Da 12 Duplo-Kurventeile einen vollständigen Kreis bilden, muss die Differenz zwischen der Anzahl der Links- und Rechtskurven ein Vielfaches von 12 sein.
  • Die am höchsten bewertete Lösung verfolgte die Winkel vom Kreuzungspunkt aus gegen den Uhrzeigersinn und kam zu dem Schluss, dass die gezeigte Anordnung diese Bedingung erfüllt.
  • Eine andere Antwort fasst zusammen: Wenn nur Kurven betrachtet werden, muss „Anzahl der nach innen gebogenen Teile minus Anzahl der nach außen gebogenen Teile“ 12 betragen, damit es sauber passt.
  • Diese Bedingung ist jedoch eher eine notwendige Bedingung: Selbst wenn sie erfüllt ist, ergibt sich nicht zwingend eine spannungsfreie Anordnung.

Positionsbedingung: Die Summe der Verschiebungsvektoren muss 0 sein

  • Die zweite Prüfung betrifft eine Positionsdiskrepanz: Man addiert die Verschiebungsvektoren vom Start- zum Endpunkt jedes Teils und prüft, ob die Summe 0 ergibt.
  • Setzt man die Länge eines geraden Teils auf 1, lassen sich die Vektoren der geraden Teile je nach Richtung berechnen.
    • Eine Gerade 0-0 bei Winkel 0 ist (1, 0)
    • Eine Gerade 1-1 bei Winkel 1, also 30 Grad, ist (cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2)
  • Kurventeile werden so behandelt, als hätten sie einen Radius, der doppelt so groß ist wie die Länge eines geraden Teils.
    • Eine Kurve 0-1 ist (2 sin 30°, 2(1 - cos 30°)) = (1, 2 - √3)
  • Die Koordinaten aller Teilrichtungen lassen sich in einen rationalen Anteil und einen mit √3 multiplizierten rationalen Anteil aufteilen; die Lösung stellt sie deshalb als Liste aus 4 Zahlen dar und addiert sie.
  • Damit sich die Schleife ohne Spannung schließt, muss die Summe der vier Zahlen aller Teile vier Nullen ergeben.

Berechnungsergebnis: Die aktuelle Anordnung schließt nicht exakt

  • Die Summe aller Teile der gezeigten Anordnung ergibt 4.5 -3 -2 0.5.
  • Als tatsächliche Verschiebung geschrieben entspricht das (4.5 - 3√3, -2 + 0.5√3).
  • Da dieser Wert nicht 0 ist, ist die Anordnung nicht spannungsfrei.
  • Zeichnet man den rechnerisch idealen Pfad, entsteht keine geschlossene Schleife, sondern eine Form, deren Endpunkte versetzt sind.
  • Die Antwort fasst zusammen, dass sich diese Schleife mit Kombinationen aus weniger als 5 Teilen nicht vervollständigen lässt.

Korrekturen: Exakte Lösung und Ergänzung eines einzelnen Teils

  • Um eine exakt spannungsfreie Lösung zu bauen, müssten bestimmte Teile entfernt und andere hinzugefügt werden.
  • Eine Lösung verwendet folgende Kombination:
    • 10-9, 9-10, 5-5 entfernen
    • 1-1, 8-8 hinzufügen
  • Die Lösung berechnet, dass die Kombination 3-4 3-4 1-1 8-8 11-11 die benötigte Verschiebung ausgleicht.
    • Es gibt drei weitere 5-Teil-Kombinationen mit derselben Verschiebung, diese führen aber zu einer ungeraden Anzahl von Kurventeilen und damit zu einer Winkeldiskrepanz.
  • Als realistische Korrektur, wenn nur ein einzelnes Teil geändert wird, kommt das Hinzufügen eines 2-2-Teils infrage.
    • Als Beispielposition wird der Platz hinter der ersten grauen Kurve genannt.
  • Eine einfachere Ausrichtungsstrategie besteht darin, gerade Teile als zueinander parallele Paare anzuordnen, sie aber auf der gegenüberliegenden Seite mit einem Abstand von 6 Netto-Kurveneinheiten neu zu platzieren.

Schnelle Praxistests: Ebenheit, Verbindungen, tatsächliche Fahrt

  • Das erste Signal, das man vor der mathematischen Berechnung prüfen sollte, ist, ob die Strecke flach aufliegt.
    • Eine erzwungen geschlossene Schleife kann sich statt in einer zweidimensionalen Ebene leicht dreidimensional verbiegen.
  • „Zu viel Spannung“ ist subjektiv; die Verbindungen erlauben ein gewisses seitliches Fehlmaß und können es über die gesamte Schleife verteilen.
  • Übermäßige Spannung kann an den Verbindungsstellen sichtbar werden:
    • Einige Verbindungen wirken nicht gerade, sondern verbogen
    • Zwischen den Schienen sind die Abstände groß oder stufenartig versetzt
    • Das lässt sich auch mit der Hand ertasten
  • Der abschließende Praxistest ist, einen echten Zug fahren zu lassen.
    • Wenn die Fahrt recht ruhig und stabil ist, kann die Strecke diese Belastung derzeit aushalten.
  • Eine andere Antwort schlägt als spielerischen Maßstab vor: Wenn sich bei einer Fahrt mit 2 bis 4 angehängten Wagen Wagen lösen oder der Zug entgleist, ist die Strecke zu straff.

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1 Kommentare

 
GN⁺ 2023-09-07
Hacker-News-Kommentare

  • Ich habe eine Duplo/Lego-Frage und frage mich, ob es für das kombinatorische Problem, die Anzahl der Strukturen zu zählen, die man aus N 1×M-Lego-Steinen bauen kann, einen Namen gibt.
    Frei drehbare Teile gelten als dieselbe Struktur. Zum Beispiel würde man bei zwei 1×2-Lego-Steinen die Anzahl der Anordnungen als 2 betrachten: einmal, wenn sie oben und unten über zwei Noppen verbunden sind, und einmal, wenn sie über eine Noppe verbunden sind. Bei der Verbindung über eine Noppe ist eine freie Drehung von mehr als 270 Grad möglich, daher wird der Unterschied zwischen linker und rechter Noppe unter Berücksichtigung der Rotationssymmetrie zur selben Struktur.
    Angenommen werden „ideale“ Lego-Steine mit Fertigungstoleranz 0, und illegale Bautechniken sind nicht erlaubt. Ich frage mich auch, ob dieses Problem wohldefiniert ist, ob es eine geschlossene Lösung gibt oder ob es vielleicht ein Generatorprogramm gibt.
    Wenn N groß genug wird, können Freiheitsgrade der Rotation zusätzliche Strukturen erzeugen, die bei anderen Rotationsrichtungen verborgen waren, sodass ein Generator sehr komplex werden dürfte.

  • Ein Freund und ich haben oft über eine ähnliche Frage gesprochen: Wie viele verschiedene geschlossene Gleis-Layouts kann man mit einem festen Satz gebogener Duplo-Eisenbahnschienen bauen?
    Gerade Abschnitte kann man größtenteils ignorieren, weil man auf beiden Seiten paralleler Schleifen jeweils ein Paar hinzufügen kann. Es gibt allerdings auch eine interessante Dreiecksform, die dieses Muster durchbricht.
    Mein Freund hat tatsächlich ein Programm geschrieben, das Lösungen sucht; es funktionierte im Großen und Ganzen gut und erzeugte interessante Layouts. Weichen hat er am Ende nicht mehr hinzugefügt.
    Oft ist es schwierig zu entscheiden, ob zwei Gleis-Layouts identisch sind, und am Ende führte das zur Mathematik des Halskettenproblems: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_problem

  • Als zugelassener Maschinenbauingenieur: Streng genommen steht die Schiene nicht unter „Zugspannung“. Sie befindet sich in Biegung, also einer Kombination aus Zug und Druck.
    Wenn mehr Erklärung nötig ist, kann ich das gern weiter ausführen.

    • Ich habe das als „binding“ gelesen, also in dem Sinne, dass die Verbindungsstellen zwischen den Teilen unter Spannung stehen und Kräfte übertragen.
    • Kannst du dann ein Biegemomentendiagramm für diese Strecke zeichnen? :D

  • Die verlinkte Seite mit der ausführlichen Einführung zu Duplo-Schienen fand ich interessanter.
    https://www.cailliau.org/Alphabetical/L/Lego/Duplo/Train/Rai...
    Als Kind hatte ich sowohl die „neuen“ als auch die „alten“ schwarzen Duplo-Schienen. Ich erinnere mich, dass ich schon mit vier Jahren die alten schwarzen Schienen unpraktisch fand und die neuen viel lieber mochte.

    • Ist das der Link, den der Nutzer Weathervane gepostet hat? Ich frage mich, warum der Rest des Kommentars nur aus unleserlichen Zeichenketten besteht.
      Etwa „gjryir frpgvbaf qb abg znxr na rknpg pvepyr, gurer vf n fznyy bireync, naq fb znxr n pv“

  • Ich habe ein fünfjähriges Kind und baue deshalb häufig BRIO-Holzeisenbahnschienen in verschiedenen Konfigurationen auf.
    Wenn mein Kind die Strecke erweitert, korrigiere ich die Anordnung meist ein paar Schritte hinterher still und leise, damit sie nicht zu stark überbestimmt wird. Das ist ein einfaches, aber ziemlich unterhaltsames kleines Problemlösen, und es ist schön, dabei Zeit mit dem Kind zu verbringen.

    • Das Gute an BRIO-Schienen ist, dass sie das Haus nicht so unordentlich wirken lassen wie andere Plastikschienensets.
      Sie sehen gut aus und fühlen sich gut an. Die Züge sind langsam, haben aber hohes Drehmoment, was dem Erlebnis so etwas wie „Gewicht“ verleiht. Anders als viele ferngesteuerte Spielzeuge, die für ihre Größe viel zu schnell fahren und dann auf Teppichen oder an Kanten hängen bleiben.
    • Ich mache das auch so. Mein Sohn und seine Freunde bauen gern große Eisenbahn-Rundstrecken.
      Ich mag das auch, aber ich sehe etwas besser als die Kinder, wo Zugspannung entsteht, und versuche, diese Stellen zu korrigieren.
    • BRIO-Schienen sind gut konstruiert und lassen sich auf unzählige Arten kombinieren, einschließlich Weichen und so weiter; die Lücken, die normalerweise entstehen, lassen sich aber mit einem der kürzeren geraden Schienenstücke passend schließen.
      Das heißt, im gesamten System braucht man nur eine kleine ganzzahlige Anzahl verschiedener Längen gerader Schienen. Bei TrackMaster braucht man dagegen deutlich mehr.
    • Ich stehe erst am Anfang meiner BRIO-Reise. Ich habe noch kein Set gekauft und bin gerade sehr in Magnatiles vertieft.
      Ich frage mich, ob schon jemand BRIO-Schienen selbst gefräst hat. Vielleicht, um ungewöhnliche Formen zu bauen, die mit Standardteilen nicht möglich sind.
      Ein Bananenfahrzeug, das mit BRIO-Schienen kompatibel ist, habe ich schon gebaut, aber an den Schienenbau habe ich mich noch nicht gewagt.

  • Die mathematische Analyse könnte noch einfacher sein. Man kann jedes Schienenstück als zweidimensionalen Vektor betrachten und alle addieren. Bei einer spannungsfreien Anordnung ist die Summe (0, 0).
    Als Maß für die Spannung könnte man annehmen, dass die Positionsabweichung gleichmäßig verteilt ist, und sie als Mittelwert aller Vektoren modellieren. Dieselbe Verschiebung ist daher umso bedeutender, je weniger Teile beteiligt sind.
    Es könnte so aussehen, als würde man die Rotation ignorieren, tatsächlich ist sie aber enthalten. Denn der effektive Vektor eines Schienenstücks beschreibt sowohl die aktuelle Richtung als auch die Verschiebung, die dieses Stück hinzufügt. Modelliert man das im Code, hat der Cursor einen Richtungswinkel und eine (x, y)-Position.
    Als verwandte Mathematik gibt es die Tatsache, dass die Summe der Außenwinkel eines Polygons 360 Grad beträgt; wie weit man davon entfernt ist, kann also ein weiteres Maß sein. In diesem Fall ist es nicht nützlich, aber mir kommt auch die Windungszahl aus der komplexen Analysis in den Sinn: eine Methode, bei der man lokal entlang einer Kurve läuft, um zu verstehen, welche Seite „innen“ ist und wie oft die Kurve einen bestimmten Punkt umläuft.

    • Ich habe keine quantitative Grundlage dafür, aber insgesamt scheint es mir möglich, dass irgendwo lokale Spannung bleibt, auch wenn die Nettospannung insgesamt null ist.
      Man könnte eine leicht selbstschneidende Form erzeugen und diesen Abschnitt unter Spannung hineindrücken, während ein komplementärer Abschnitt sich als Negativwert des ersten Abschnitts aufsummiert, aber keine Selbstüberschneidung hat.
    • Wenn man die Polygonwinkel-Idee erweitert, scheinen diese Schienen jeweils eine Biegung von etwa 30 Grad zu haben.
      Deshalb muss es entweder 360/30 = 12 mehr Rechtskurven als Linkskurven geben oder umgekehrt. Man müsste zählen, aber man kann sich schnell daran gewöhnen, beim Entlanggehen der Strecke +1 oder -1 zu addieren. Wenn am Ende 12 herauskommt, ist es perfekt, und der Abstand zu 12 wird zur Spannungsschätzung.
    • Worin unterscheidet sich das von der Lösung auf der Seite?

  • Andere StackExchange-Foren sind großartig. Solche Fragen und die Antworten darauf sind hervorragend.
    Über die Jahre habe ich in den Bereichen Luftfahrt, User Experience und Mathematik tolle Diskussionen gesehen, mit langen, detaillierten Antworten voller interessanter Einsichten. Vor ein paar Stunden war auch ein Beitrag aus dem Latein-Bereich auf HN.
    Aber zumindest für mich gilt das nicht mehr für Stack Overflow. Früher habe ich dort Fragen gestellt und Antworten gegeben, aber irgendetwas hat sich geändert. Es fühlte sich an, als sei es von übermäßig pedantischen Moderatoren übernommen worden, und inzwischen beteilige ich mich kaum noch.

  • Nach meinem Verständnis ist die gefährliche Schwachstelle der Hals des Verbindungspins auf einer Seite der verbundenen Schienen.
    Bei Duplo haben beide Verbindungsteile einen Schlüssel-Pin und ein Loch. Bei starker Fehlstellung kann eine Seite des Schlüssels zusätzlichen seitlichen Druck abbekommen und sich verformen oder brechen.
    Allerdings entsteht eine solche starke Spannung wahrscheinlich vor allem dann, wenn man versucht, die letzte Verbindung gewaltsam zusammenzustecken oder einzurasten. Ein Kind könnte das versuchen, wenn kein Elternteil danebensteht und überwacht, ob der Aufbau überhaupt möglich ist. Wenn die Eltern es bemerken, ist es wahrscheinlich schon zu spät, oder es hat geklappt und es gibt nichts mehr zu reparieren.
    Wenn der Hals des Schlüssels bricht, war es eben so bestimmt. Kein großes Ding. Der zweite Schlüssel hält die Verbindung weiterhin zusammen. Nur wird dieser Abschnitt zur schwächeren Stelle, wenn man nichts daraus lernt.
    Wenn man es irgendwie in eine Schleife gezwängt hat: gut, dann kann die Lok fahren. Wenn die Wagen an einer erzwungenen Lücke oder einem verdrehten Abschnitt nicht umkippen, lässt man sie weiterfahren; andernfalls justiert man nach oder baut neu.

  • Als Kind habe ich beim Entlanggehen der Schienen gezählt. Ich habe bei 0 angefangen; wenn die Schiene nach links bog, habe ich 1 addiert, wenn sie nach rechts bog, 1 abgezogen.
    Die Antwort musste ein Wert wie ±12, ±24 sein, denn 12 Stück ergeben einen Kreis.

    • Kannst du mir erklären, warum das stimmt, so als würdest du es einem Fünfjährigen erklären?

  • Ich denke, man kann die Spannung prüfen, indem man die Schleife öffnet und sich den Versatz zwischen Start- und Endstück ansieht. Dabei setzt man voraus, dass die Oberflächenreibung niedrig genug ist, damit sich die Teile bewegen können.
    Als Puzzle-Lösung würde man jedem Teiletyp einen Endversatz und einen Verbindungswinkel zum nächsten Teil zuweisen, bei den Koordinaten (0, 0) starten, die Teile durchlaufen und die Position des letzten Stücks aktualisieren, danach den Versatz zwischen Start- und Endstück prüfen.
    Das Ergebnis würde aussehen wie das Bild in der Antwort. Schwieriger ist allerdings, die Schienen so zu aktualisieren, dass der Versatz minimiert wird.

    • Zur Bedingung „wenn die Oberflächenreibung niedrig genug ist“: Aus Erfahrung mit Streckenaufbauten, die einen beträchtlichen Teil unseres Erdgeschosses einnahmen, setzt sich das Ganze sogar auf einem harten Holzboden eher in einen entspannten Zustand, wenn man einen unter Spannung stehenden Abschnitt öffnet und die gesamte Strecke ein wenig vor und zurück rüttelt.
      An diesem Punkt kann man die betreffenden Teile anpassen und oft die dadurch größer gewordene Lücke schließen. Es war ein Aufbau wie in der Zugverfolgungsszene aus Wallace and Gromit: The Wrong Trousers.
    • Bei einer Strecke dieser Größe wäre die Oberflächenreibung vermutlich nicht niedrig genug, damit sich alles von selbst neu ausrichtet.
      Wenn Spannung vorhanden ist, werden die Schienenenden nahe der getrennten Stelle auseinandergehen, aber ich kann mir kaum vorstellen, dass sich das Ganze bewegt.
    • Genau. In der Frage steht auch, dass man das tun kann.
      „Ich weiß, dass man ein Teil herausnehmen und wieder einsetzen kann, um es direkt zu fühlen.“
    • Soll man es auf einem Airhockey-Tisch aufbauen?
      Auf einem glatten, ebenen Boden aufbauen und dann Shuffleboard-Pulver daraufstreuen wäre vielleicht auch eine Möglichkeit.